高校の数学で関数が連続であることはグラフがつながっていることである、という説明を受けることがあります。連続性と言っているわけだし、グラフがつながっていることが連続であるという直感にちょうどあっていて、この説明は悪くはないと思うんです。でも、連続の定義からグラフがつながっていることが簡単にわかるかというというと、私はそうでもなかったんですよね（もしかしたら、連続の定義だけでつながっていると合点する人はいるかもしれませんが）。
それで微積分の学習を進めていくと、すぐに中間値の定理が出てくるわけです。中間値の定理は高校数学でも出てくるわけですが、簡単に言えば実数の区間で定義された連続な実数値関数がある2つの値を取れば、その間の任意の値に対して、その値を取るような実数がある、という感じでしょうか。私はこの定理が連続関数のつながっている感を出してくれている気がするんですよね。
中間値の定理の証明は高校数学では与えられません。高校数学では極限の定義がされないのもそうですし、実数の完備性については触れられもしないからです（これは私が高校生のうちから極限の定義を厳密に述べたり、実数についての深い考察をするべきだと思っていることを意味しているわけではありません）。特にこの実数の完備性が中間値の定理の証明では重要な役割を果たすわけです。つまり、連続なだけならグラフがつながっているとはかぎらないわけで、定義域が実数の区間であることが大切なわけです。有理数では関数が連続だからと言って、グラフがつながっているとは限りません。
連続関数だからグラフがつながっているというのは、一見正しそうに見えて実はそうではないわけです。定義域が区間であることが本質的に重要です。そして、このグラフがつながっているということをさらに一般化すると、位相空間論における連結性という概念にたどり着くわけです。
コメント