数学という文字には”数”という文字が入ってるくらいですから、数学において数というのは重要な概念であるわけです。その一方で、数学書にはページ番号以外数字が載っていないというジョークもあるくらい、思ったより数字が出てこないのも事実です。私自身もそこまで数字に強かったり、特別数字に興味があるわけではないんですよね。数学科のことをまったく知らない人が聞いたら驚くかもしれませんが、数学科にいるみんながみんな数字に強いわけではないですし、すごい桁数の暗算ができるわけでも、計算が特別速いわけではありません。そうでなくとも、数学科には入れるということでもあります。
最初にも述べたように、数というのは数学において重要な概念であることは間違いありません。ですが、私自身は数について腰を据えて学んだことがないので、詳しいことまでは話せませんが、それでも数学で重要であることは認識しているので、その重要性や周辺について語ってみようと思います。
ペアノの公理は聞いたこともある人は多いと思います。簡単に言えば自然数とは何かを定めているようなルールになるわけですが、多くの人が勘違いしているのは、ペアノの公理は自然数の存在を示しているわけではないということです。仮にこれらのルールを満たすものがあれば、それを自然数と言いましょうね、という決まりでしかないので、そのような性質を満たすものがなければあまり意味があるものとは言えません。多くの人々の期待通り実際に自然数は存在するわけですが、私はあまり構成については詳しくないので、ここまでにしておこうと思います。
自然数ときたら、次は整数ですね。整数は自然数を使って作ることができるわけですが、実は自然数と整数は同じ”個数”あるんですよね。個数と言っても、どちらも無限個あるわけで、同じ個数あることをどのように定めるかというのが問題になるのですが。あと整数と言えば環の代表的な例ですね（数学において例を知っておくことは重要ですから、このような基本的な例から始めるのは大切だと思います）。環と言っても、整数環はいろんな性質を備えたものだと認識しています。余りのある割り算ができるとか、素因数分解ができるとか。こういうのが一般化されていろんな環ができるわけです。
整数の次は有理数です。有理数は整数から構成されます。有理数は上の２つの数とは違って、ぎっしり詰まってる感がありますよね。つまり、２つの有理数の間には必ず有理数があるということです。この原因は構成にあると思うんですよね。有理数は２つの整数の組に同値関係を入れて作るわけですが、２次元のものから１次元の有理数を作っているので、２次元分の広がりを無理やり１次元に閉じ込めたことで、これだけぎゅうぎゅうになっているんだと思います。それでも有理数の”個数”は整数や自然数と同じなんですよね。ちなみに有理数は体の重要な例です。
実数と有理数の間には大きな差があります。上で有理数はぎっしり詰まってる感があるって言ったんですけど、数学的に言うと有理数はいうほどぎっしり詰まってないんですよね。実数はその空いている穴を全部埋めた感じのイメージがあります。つまり、実数は数学的にぎゅうぎゅうなんですね。このぎゅうぎゅうであることによって、微積分学は成り立っているわけで、有理数であればできなかった芸当です。あと実数の説明でよく数直線が使われます。ここにきて数に対して、幾何学的な意味づけがされましたね。例えば２つの実数の組と聞いたら、多くの人が座標平面という数にはなかった広がりを想像すると思います。そこから進んで座標平面上では２点間の距離とかを考えられるわけで、これを一般化すれば距離関数や距離空間という概念にたどり着きます。さらに一般化すると位相空間論にたどりつくわけです。
複素数は実数と虚数からなるのですが、どうも不遇な立ち位置にいる気がするんですよね。虚数と聞くと、そんな存在しない数を扱うのに意味はあるのか、と尋ねてくる人はいるかもしれませんが、虚数は存在するのでこの質問自体ナンセンスですね。まあそこは置いといて複素数を考える意味はあるかというと、大いにあると思います。例えば、複素数の微積分は実数の時とは違って数学的に美しいとされる結果がいくつもありますし、微分方程式の解でも複素数があったほうが便利な時はたびたびあります。さらに代数学の基本定理という重要な定理も、複素数だからこそ成り立っているのです。ちなみに代数学の基本定理という名前ですが、証明する際は解析的・位相的な議論によって証明されます。おそらく、その理由は複素数や実数の構成が解析的だからだと思います。
こんな感じで数について振り返ってみました。こう書いてみると結構面白いですね。今度きちんと勉強してみようかなと思います。
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