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数学を学ぶ上で最低限持っておくべき知識について解説します． 命題とは 命題とは数学的な主張のことを言います．命題には真の命題と偽の命題があります．簡単に言えば，真とは正しいという意味で，偽とは正しくないという意味です．次の例を...

線型代数を勉強するならベクトル空間の概念は避けて通れません．今回の記事ではベクトル空間の導入を図ろうと思います． 平面ベクトル 「ベクトル」という単語については多くの人がなじみあるかもしれません．高校数学で出てきた「矢印」のこ...

世の中たくさんの数学書が出版されています。特に線形代数や微積分などはさまざまな分野で使われるそうで、本屋に行くと数学科向けのものから一般向けのものまでたくさん並んでいるのが分かります。この数学科向けと、一般向けの大きな違いがあるとすれば、...

多様体は現代数学における重要な概念です。ですが、難しいことにも定評があるようです。私も多様体論の深いところまで学習したわけではないので、偉そうなことは言えませんが、実際自分で学習していて気づいたことを書こうと思います。 多様体を平た...

位相空間論は現代数学の基礎に入る分野です。だから、大体の大学では数学科2年生くらいで教えられているそうですし、「集合・位相」のように集合とともに位相の内容を書いている本はたくさん出ているのだと思います。しかしながら、難しいと定評がある分野...

ミッチェルの埋め込み定理の証明を最近ずっと読んでいました。なかなか時間かかりました。定理の主張というのは、任意の小さいアーベル圏\(\mathcal{A}\)に対して、ある環\(R\)とある完全忠実充満関手\(\mathcal{A}\ri...

ちょうどいま圏論を勉強しています。圏論は最近ブームになっているようなので聞いたことがある人もいるかもしれません。 圏論というのは文字通り圏という数学的対象を扱うわけですが、圏は対象と射からなります。例えば集合の圏であれば、対象は集合...

高校では積分は微分の逆演算として定義されることが普通だと思いますが、それだと不都合なことが多かったりするんですよね。そのような定義だと原始関数を具体的な式で書けないような関数は積分できないことになります。なので、少し複雑な関数を被積分関数...

私は数学科なんですが、結構物理にも興味があります。興味があるだけで、本格的に勉強しているわけではないのですが。数学科が物理学科に言うことといえば、積分と極限の交換とか、運動方程式って証明されないのに使うのってなんか気持ち悪いよね、とかそん...

たまに6÷2(1+2)の結果が2通り現れるみたいなので、話題なったりしてましたよね。私個人的にはこの値が何であってもよいのですが、受け取る人にとって値が変わってしまうのは式の表現としては最悪です。何でこんなことが起こるのかというと、冷静に...