共通部分と和集合

2つの数があれば，足し算や掛け算などの演算ができました．それと同じように，2つの集合があったとき，それらを使って新しい集合を作り出すことができます．その最も基本的な作り方を紹介します．ここで述べることは数学をしていれば空気のように使うようなものです．

共通部分
1. 共通部分とは
2. 共通部分の基本的性質
和集合
1. 和集合とは
2. 和集合の基本的性質
分配法則
まとめ
参考書

共通部分

共通部分とは

$U$ を空でない集合として， $A,B$ を $U$ の部分集合とします．このとき， $A$ の元もあり $B$ の元でもあるような $U$ の元があるかもしれません． $A$ と $B$ の両方に含まれる元をすべて集めてきた集合を $A\cap B$ と書いて $A$ と $B$ の共通部分と言ったりします．つまり

$A\cap B=\{x\in U\mid x\in A\wedge x\in B\}$

ということです．もちろん， $A$ と $B$ 両方に属している元がなければ， $A\cap B=\emptyset$ となります．このとき $A$ と $B$ は交わらないとか，互いに素であるとか，非交差とか言います． $A\cap B\neq \emptyset$ であるとき $A$ と $B$ は交わるなどと言います．

ベン図を使えば，次のように表すことができます．

色のついた部分が $A\cap B$ を表しています．

例1

$\begin{gather*}A=\{2,4,6,8,10,12,14,16,18,20\}\\ B=\{3,6,9,12,15,18\}\end{gather*}$

とすると

$A\cap B=\{6, 12,18\}$

である．

共通部分の基本的性質

例1を見れば分かると思いますが，一般に集合 $A$ と $B$ に対して $A\cap B$ は $A,B$ よりも小さい集合になります（正確には大きくない集合となります．）．つまり，次のことが成り立ちます．

命題2

$A$ と $B$ を集合とすると，次が成り立つ：

$\begin{gather*}A\cap B\subset A\\ A\cap B\subset B\end{gather*}$

証明

まず $A\cap B\subset A$ を示す．そのためには $x\in A\cap B$ ならば $x\in A$ であることを示せばよい． $x\in A\cap B$ とすると，その定義より $x$ は $A$ と $B$ の両方に含まれている．よって $x\in A$ である． $A\cap B\subset B$ も同様で $x\in A\cap B$ なら， $x$ は $A$ と $B$ の両方に含まれているから， $x\in B$ である．

特に $A\subset B$ という状況を考えてみましょう．このとき $x\in A$ であれば $x\in B$ が成り立っています．つまり， $x\in A$ であれば $x$ は $A$ の元もあり， $B$ の元でもあるので $x\in A\cap B$ となります．これは $A\subset A\cap B$ であることを意味しています．命題2より $A\cap B\subset A$ は成り立っているので， $A\cap B=A$ であることが分かりました．

命題3

$A,B$ を集合とする． $A\subset B$ が成り立っているならば $A\cap B=A$ である．

特に $A=B$ とすれば次を得ます．

系4

$A$ を集合とすると， $A\cap A=A$ である．

$x\in B\cap A$ であるとは

$x\in B \wedge x\in A$

ということです．もちろんこの条件は $x\in A\cap B$ であることに同値です．よって次のことが示されました．

命題5

$A,B$ を集合とすると， $A\cap B=B\cap A$ である．

$A\cap B$ という集合についてもう少し調べてみましょう．いま $C$ という別の集合を持ってきたときに，この集合 $C$ が $A$ と $B$ の両方に含まれているとします． $C\subset A$ ですから， $C$ の元 $x$ は $A$ の元もあります．同様にして $C\subset B$ ですから， $x$ は $B$ の元もあります．つまり

$x\in A\cap B$

ということです． $x$ は $C$ のどの元でもよいので，このことは $C\subset A\cap B$ であることを意味しています．この逆も成り立ちます．

命題6

$U$ を集合とする． $A,B,C$ を $U$ の部分集合とする．このとき次の条件は同値：

$C\subset A$ かつ $C\subset B$
$C\subset A\cap B$

証明

$1\Rightarrow 2$ は示した． $2\Rightarrow 1$ を示す．命題2より $A\cap B\subset A$ かつ $A\cap B\subset B$ であるから，集合についての命題4より， $C\subset A$ かつ $C\subset B$ が成り立つことが分かる．

命題2より $A\cap B$ は $A$ の部分集合でもあり， $B$ の部分集合でもあることが分かりました．さらに命題3からは $A$ と $B$ 両方の部分集合は， $A\cap B$ の部分集合であることが分かります．つまり， $A\cap B$ は $A$ と $B$ に含まれる部分集合のうちで最大の部分集合である，ということです．

ここまでは2つの集合の共通部分について考えてきました．それでは3つ以上の集合の共通部分はどうなるでしょうか．自然に考えれば次のように定義すればいいような気がします．

まず $A,B,C$ という3つの集合のうち，2つの集合の共通部分を作り，その共通部分と残りの集合の共通部分を作る，という方法です．例えば，まず $A\cap B$ という集合を作り，次に $A\cap B$ と $C$ の共通部分である $(A\cap B)\cap C$ を作るということです．ですが，先に $B\cap C$ を作り，それから $A\cap (B\cap C)$ を作るという順番もあります．注意しないといけないのは，この作り方の順番によらないということです．つまり

$(A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)$

が成り立つことは確認しないといけないということです．確認しなければならないといいましたが，今回の場合は $x\in(A\cap B)\cap C$ であることと $x\in A\cap (B\cap C)$ はどちらも

$x\in A\wedge x\in B\wedge x\in C$

に同値です．よって，このことから $(A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)$ が分かります．

命題7

$U$ を集合とする． $A,B,C$ を $U$ の部分集合とすると

$(A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)$

が成り立つ．

この命題によりカッコを省いて

$A\cap B\cap C$

と書いていいことになります．同じようにして，より一般に $n$ 個の集合 $A_1,A_2,\dots,A_n$ に対して

$A_1\cap A_2\cap \dots\cap A_n$

を考えることができます．

2つの集合の共通部分の話に戻ります．

空集合との共通部分はいつでも空集合になります．

命題8

$A$ を集合とすると， $A\cap\emptyset=\emptyset$ である．

証明

$A\cap \emptyset=\emptyset$ であるとは $A\cap \emptyset$ が元を持たないということである．そこで $x\in A\cap\emptyset$ が存在するとして，矛盾を導く． $x\in A\cap \emptyset$ であるとは定義より $x\in A$ かつ $x\in \emptyset$ ということである．しかし，空集合は元を含まないので $x\in \emptyset$ は矛盾である．よって $A\cap \emptyset=\emptyset$ である．

部分集合と共通部分の関係は次のようになります．

命題9

$A,B,C$ を集合とする． $A\subset B$ ならば $A\cap C\subset B\cap C$ である．

証明

$x\in A\cap C$ とする．これは $x\in A$ かつ $x\in C$ ということである． $A\subset B$ だから $x\in B$ であることが分かる．よって $x\in B$ かつ $x\in C$ が成り立つから， $x\in B\cap C$ である．

和集合

和集合とは

次に2つの集合の和集合というものを考えます． $U$ を集合として $A,B$ を $U$ の部分集合とします．和集合は2つの集合 $A$ と $B$ の少なくと一方に含まれる元をすべて集めてきた集合です．つまり $A$ と $B$ の和集合とは次のような集合のことです：

$\{x\in U\mid x\in A\vee x\in B\}.$

この集合を $A\cup B$ と書いて表します．定義から

$x\in A\cup B\Longleftrightarrow x\in A\vee x\in B$

です．

和集合もベン図で表すとその状況が分かりやすいです．

これも色のついた部分が $A\cup B$ を表しています．

例10

$\begin{gather*}A=\{2,4,6,8,10\}\\ B=\{2,3,5,7\}\end{gather*}$

とする．このとき

$A\cup B=\{2,3,4,5,6,7,8,10\}$

である．

和集合の基本的性質

この例からも分かるように，一般に $A\cup B$ は $A$ と $B$ よりも大きい集合になります（正確には小さくない集合になります）．

命題11

$A,B$ を集合とすると次が成り立つ：

$\begin{gather*}A\subset A\cup B\\ B\subset A\cup B\end{gather*}$

証明

まず $A\subset A\cup B$ を示す． $x\in A$ とすると

$x\in A\vee x\in B$

は成り立つ．よって $x\in A\cup B$ である． $B\subset A\cup B$ も全く同じように示せる．

$A\cup B$ は $A\subset B$ という条件の下では簡単に表せます． $x\in A\cup B$ であるとは， $x$ は $A$ か $B$ の元ということでした． $x\in A$ の場合は $A\subset B$ という条件を考えているので，自動的に $x$ は $B$ の元にもなります．つまり $A\subset B$ のときは $x\in A\cup B$ ならば $x\in B$ であるということです．命題9から $B\subset A\cup B$ も成り立つので $A\cup B=B$ であることが分かります．

命題12

$A,B$ を集合とする． $A\subset B$ ならば $A\cup B=B$ である．

特に $A=B$ とすれば次が分かります．

系13

集合 $A$ に対して， $A\cup A=A$ である．

$x\in B\cup A$ であるとは

$x\in B\vee x\in A$

ということでした．これは $x\in A\cup B$ であることと同値ですから次が分かります．

命題14

集合 $A,B$ に対して $A\cup B=B\cup A$ が成り立つ．

ここまで来ると $A\cap B$ との対比が見えてくると思います．命題4に対応する $A\cup B$ の主張は次のように述べられるでしょう．

命題15

$U$ を集合とする． $A,B,C$ を $U$ の部分集合とする．このとき次の条件は同値：

$A\subset C$ かつ $B\subset C$
$A\cup B\subset C$

証明

まず1ならば2を示す．そのためには $x\in A\cup B$ ならば $x\in C$ を示せばよい． $x\in A\cup B$ とすると， $x$ は $A$ か $B$ の少なくとも一方に含まれる．どちらにせよ1の条件より $x\in C$ であることが分かる．これが示すべきことだった．

次に2ならば1を示す． $A\subset A\cup B$ と2の条件から $A\cup B\subset C$ であることより $A\subset C$ が分かる． $B\subset C$ も全く同様．

命題9と命題13から， $A\cup B$ は $A$ と $B$ を含む最小の集合であることが分かります．

$A\cup B$ を複数の集合に対して定義します．そのために次の命題を用意しておきましょう．

命題16

$U$ を集合とする． $A,B,C$ を $U$ の部分集合とすると

$(A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C)$

が成り立つ．

証明

$x\in (A\cup B)\cup C$ であることは

$x\in A\vee x\in B\vee x\in C$

ということであり，これは $x\in A\cup (B\cup C)$ ということでもある．よって $(A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C)$ である．

この命題よりカッコを省いて $A\cup B\cup C$ と書いても問題ないことが分かります．このようにして3つの集合に対する和集合を定義することができます．4つの集合 $A,B,C,D$ に対しては $A\cup B\cup C$ と $D$ の和集合を $A,B,C,D$ の和集合として定義します． $n$ 個の集合 $A_1,A_2,\dots, A_n$ の和集合

$A_1\cup A_2\dots \cup A_n$

も同じようにして定義されます．

2つの集合の和集合の話に戻ります．

空集合は空っぽの集合ですから，空集合との和集合を考えても元の集合と変化しないはずです．

命題17

$A$ を集合とすると， $A\cup \emptyset=\emptyset$ である．

証明

$A\subset A\cup \emptyset$ であるから， $A\cup\emptyset\subset A$ を示せばよい． $x\in A\cup\emptyset$ は $x\in A$ または $x\in \emptyset$ ということだが， $x\in\emptyset$ は常に成り立たないので， $x\in A$ である．つまり， $A\cup\emptyset\subset A$ である．

部分集合との関係としては，和集合も共通部分と同じような関係を持っています．

命題18

$A,B,C$ を集合とする． $A\subset B$ とすると $A\cup C\subset B\cup C$ である．

証明

$x\in A\cup C$ とする．これは $x\in A$ または $x\in C$ ということである． $A\subset B$ だから $x\in B$ でもある．よって $x\in B\cup C$ である．

分配法則

これまでに集合の共通部分と和集合について別々に説明してきましたが，実際にはこれらが一緒に出てくることもよくあります．ですから，共通部分という演算と和集合という演算の間の関係を見ておくのは十分意義があるでしょう．

整数の足し算と掛け算は分配法則が成り立ちました．それと似たようなことが集合でも成り立ちます．

命題19

$A,B,C$ を集合とする．このとき，次の等式が成り立つ．

$(A\cap B)\cup C=(A\cup C)\cap(B\cup C)$
$(A\cup B)\cap C=(A\cap C)\cup(B\cap C)$

1の証明

集合の等式だから， $(A\cap B)\cup C\subset(A\cup C)\cap(B\cup C)$ と $(A\cup C)\cap(B\cup C)\subset (A\cap B)\cup C$ を示せばよい．

まず $(A\cap B)\cup C\subset(A\cup C)\cap(B\cup C)$ を示す．命題2より $A\cap B\subset A$ であり，命題11より $A\subset A\cup C$ である．よって $A\cap B\subset A\cup C$ である．まったく同様にして $A\cap B\subset B\cup C$ であることも分かる． $A\cap B\subset A\cup C$ かつ $A\cap B\subset B\cup C$ が成り立っているから，命題6の1ならば2より

$A\cap B\subset (A\cup C)\cap(B\cup C)$

である．また，命題11より $C\subset A\cup C$ と $C\subset B\cup C$ である．これと命題6の1ならば2より

$C\subset(A\cup C)\cap(B\cup C)$

が分かる．以上より， $A\cap B\subset (A\cup C)\cap(B\cup C)$ かつ $C\subset(A\cup C)\cap(B\cup C)$ が成り立っているから，命題15の1ならば2より $(A\cap B)\cup C\subset(A\cup C)\cap(B\cup C)$ が成り立つ．

次に逆の包含 $(A\cup C)\cap(B\cup C)\subset (A\cap B)\cup C$ を示す． $x\in(A\cup C)\cap(B\cup C)$ ならば $x\in (A\cap B)\cup C$ が成り立つことを示せばよい． $x\in (A\cup C)\cap(B\cup C)$ とすると， $x$ は $A\cup C$ と $B\cup C$ の両方に含まれる． $x\in C$ と $x\notin C$ の場合で場合分けして考える． $x\in C$ とすると， $C\subset(A\cap B)\cup C$ だから $x\in(A\cap B)\cup C$ である． $x\notin C$ の場合を考える． $x$ は $A\cup C$ の元であり， $C$ には含まれないから， $x\in A$ でなければならない．同様にして， $x$ は $B\cup C$ の元でもあるから， $x\in B$ である．よって $x$ は $A$ と $B$ の両方に含まれるので， $x\in A\cap B$ であり， $A\cap B\subset(A\cap B)\cup C$ だから $x\in(A\cap B)\cup C$ である．よって， $(A\cup C)\cap(B\cup C)\subset (A\cap B)\cup C$ が成り立つ．

以上のことより $(A\cap B)\cup C=(A\cup C)\cap(B\cup C)$ が示された．

2の証明

1の証明と流れはほとんど同じである． $(A\cup B)\cap C\subset(A\cap C)\cup(B\cap C)$ と $(A\cap C)\cup(B\cap C)\subset(A\cup B)\cap C$ を示す．

まず $(A\cup B)\cap C\subset(A\cap C)\cup(B\cap C)$ を示す．そのためには $x\in(A\cup B)\cap C$ ならば $x\in (A\cap C)\cup(B\cap C)$ を示せばよい． $x\in(A\cup B)\cap C$ とすると， $x$ は $A\cup B$ と $C$ の両方に含まれる． $x\in A\cup B$ だから $x$ は $A$ か $B$ のどちらかに含まれている． $x$ が $C$ に含まれていることに注意すれば， $x$ が $A$ に含まれるときは $x\in A\cap C$ であり， $x$ が $B$ に含まれるときは $x\in B\cap C$ である．よって， $x$ は $A\cap C$ と $B\cap C$ のどちらかに含まれるので， $x\in(A\cap C)\cup(B\cap C)$ である．つまり $(A\cup B)\cap C\subset(A\cap C)\cup(B\cap C)$ が示された．

次に逆の包含 $(A\cap C)\cup(B\cap C)\subset(A\cup B)\cap C$ を示す． $A\cap C\subset A$ かつ $A\subset A\cup B$ より $A\cap C\subset A\cup B$ である．まったく同様にして $B\cap C\subset A\cup B$ も分かる．命題15の1ならば2より

$(A\cap C)\cup(B\cap C)\subset A\cup B$

である．また $A\cap C\subset C$ かつ $B\cap C\subset C$ でもあるから，再び命題15の1ならば2より

$(A\cap C)\cup(B\cap C)\subset C$

である．以上より， $(A\cap C)\cup(B\cap C)\subset A\cup B$ と $(A\cap C)\cup(B\cap C)\subset C$ が成り立つから，命題6の1ならば2より $(A\cap C)\cup(B\cap C)\subset(A\cup B)\cap C$ が成り立つ．

以上より $(A\cup B)\cap C=(A\cap C)\cup(B\cap C)$ が示された．

若干証明が長くなっていますが，やっていることはいたって単純なので，冷静に読めば難しくはないと思います．

まとめ

2つの集合があれば，その共通部分や和集合を考えることで新しい集合を作り出すことができます．

参考書

集合・位相入門 (松坂和夫数学入門シリーズ 1)（松坂和夫著）：https://link.amazon/B04kDqQmT

集合と位相第2版 (8) (大学数学の入門 8)（斎藤毅著）：https://link.amazon/B05Fi5xiU

今回の記事に関連する内容は，斎藤先生の「集合と位相」より，松坂先生の「集合・位相入門」のほうにいろいろ書いてあります．