高校では積分は微分の逆演算として定義されることが普通だと思いますが、それだと不都合なことが多かったりするんですよね。そのような定義だと原始関数を具体的な式で書けないような関数は積分できないことになります。なので、少し複雑な関数を被積分関数にするのが難しくなってしまうのです。
大学に入ると、積分というのは上のような定義ではなくて、ある長方形の近似列の極限として定義されます。このように定義することによって、例えば連続関数であればすべて積分できることが分かります（高校生の頃の定義だと、微分してその関数になるような関数がなければ積分ができません。）。そして、積分と微分の間には次のような関係式
$$\int_a^bf'(x)dx=f(b)-f(a)$$
を満たすことが示されます。これを微積分学の基本定理といいます。積分の値を定義通りに計算するのはなかなか大変なのですが、この関係式によって簡単に計算できるわけです。
もう一つ積分の重要な側面としては、微分の逆演算であるという高校以来の認識です。これによって\(f(x)\)を連続関数として$$y’=f(x)$$という微分方程式を考えると、必ず解として$$y=\int f(x)dx$$が得られます。
積分の持つ２つの側面は現代数学を学ぶ上で重要な足掛かりになると思います。ちなみにここまで使った積分という言葉はリーマン積分を表していて、現代解析学においてはより一般的なルベーグ積分という積分が使われるのが普通です。
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