数学をするならどこでも出てくるであろう，写像という概念を説明しようと思います．それと関連して集合の直積も定義します．
集合の直積
直積とは
X,Yを集合としてx\in X, y\in Yとします．このときxとyの組(x,y)を考えることができます．これは，高校生のころからなじみのある平面上の点の座標を，2つの実数の組で表現したことと同じことです．
2つの組(x,y)と(u,v)が等しいとは，x=uかつy=vが成り立っていることを意味します．
XとYの直積とは，この組(x,y)をすべて集めてきたもの，つまり
\{(x,y)\mid x\in X\wedge y\in Y\}
のことをいい，この集合をX\times Yという記号で書きます．X=Yのときは，X\times XをX^2と表したりします．直積X\times Yのイメージは次のようになります．
X=\{1,2,3\}, Y=\{4,5\}とすると
X\times Y=\{(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5)\}
である．
この例ではXは3個の元からなる集合であり，Yは2個の元からなる集合です．そしてX\times Yは6個の元からなる集合であることが分かります．一般にXがn個の元，Yがm個の元からなる集合であるとき，X\times Yはnm個の元からなる集合であることはすぐに分かるでしょう．
平面と直積
上で述べたように実数の組(x,y)は平面の点として解釈することができます．\bf{R}を実数全体の集合とすると，実数の組の集合は\bf{R}\times \bf{R}，つまり\mathbf{R}^2と書くことができるので，平面を\mathbf{R}^2と同一視することができます．
順序対と非順序対
組(x,y)のことを順序対とも言います．これは集合\{x,y\}との対比による呼び名です．どういうことかというと，(x,y)は一般には(y,x)と等しくありませんが，\{x,y\}はいつでも\{y,x\}に等しくなります．つまり，(x,y)は順序まで考慮に入れた対であり，\{x,y\}は順序は考慮しない対であるということです．順序対(x,y)に対して，順序を考慮しない対\{x,y\}のことを非順序対と言ったりもします．
写像について
写像とは
それでは写像について説明しましょう．高校数学では関数というものがよく出てきたと思いますが，写像と関数は同じ意味を持つ言葉です．ですので，写像という言葉は新しいかもしれませんが，概念自体は案外なじみあるものです．
大雑把に言うと，写像は2つの集合X,Yの間の規則のことです．もう少し正確に述べれば，Xの各元xに対して，Yのある元yを1つだけ対応させる規則のことを写像と言います．xがyに対応していることを
x\longmapsto y
と書きます．強調しておくとxに対応するYの元は複数あってはいけません．必ず各xに対して，ただ1つのyが対応していなければなりません．
写像はよくfで表されます．fがXからYへの写像であることをf\colon X\rightarrow Yと書き，x\in Xがy\in Yに対応しているときf(x)=yと表します．写像のイメージとしては次のようなものを持っておけばよいでしょう．
fをXからYへの写像とします．このときXのことをfの定義域と言います．Yには定まった名前はついてないようです．この記事ではYのことをfの行き先と呼ぶことにしましょう．
この説明だけだと，少し分かりにくいかもしれないので，簡単な例を見てみることにしましょう．
X=\{0,1,2\},Y=\{5,6\}とします．写像f\colon X\rightarrow Yを定義するには，Xの元それぞれに対してYの元を対応させればよいです．例えば
f(0)=5,\quad f(1)=5,\quad f(2)=6
というようにすれば，写像f\colon X\rightarrow Yが定義できたことになります．この写像は
0\mapsto5,\quad 1\mapsto5, \quad 2\mapsto6
と書くことできます．しかし，0に対して5,6の両方を対応させるような規則を考えたとしたら，それは写像ではないので注意してください．
\mathbf{R}を実数全体の集合とする．写像f\colon \mathbf{R}\rightarrow \mathbf{R}をx\in \mathbf{R}に対して
x\longmapsto x^2
で定める．これはf(x)=x^2と書くこともできる．
この例の写像は，中学校や高校の数学でもおなじみの2次関数のことです．そして気をつけないといけないのは，f(x)というのは写像のことではなくて，値を表しているということです．あくまでもfは写像であって，f(x)は値なのです．しかし，実際のところf(x)を写像と言っても伝わりはするので，あまり敏感になる必要はないでしょう．
写像と関数の意味が同じであることは述べたのですが，慣例として写像の行き先が実数や複素数の場合に関数，それ以外の場合に写像，という言葉を使うことが多いです．
写像が等しいとは
2つの写像が等しいことを定義しましょう．X,Yを集合として，f,gをXからYへの写像とします．このとき写像fとgが等しいことを，任意のx\in Xに対して
f(x)=g(x)
が成り立つことと定義します．写像fとgが等しいときf=gと書きます．
写像のグラフ
中高の数学で関数と言えば，グラフをよく書いたと思います．
例えばf\colon \mathbf{R}\rightarrow \mathbf{R}を2次関数f(x)=x^2とします．このとき関数fのグラフは次のような放物線になりました．
この2次関数のグラフを少し眺めると，これは平面上の放物線，集合の言葉で言い換えると2次関数f(x)=x^2のグラフは平面\mathbf{R}^2の部分集合になっていることが分かります．
具体的にfのグラフを平面\mathbf{R}^2の部分集合として書いてみましょう．関数fのグラフ上に平面上の点(x,y)が乗っていることは，y=f(x)という条件をxとyが満たしているということでした．今回の場合f(x)=x^2ですから
\{(x,y)\in\mathbf{R}^2\mid y=x^2\}
が平面\mathbf{R}^2上の部分集合としての関数fのグラフになります．この集合は
\{(x,x^2)\in\mathbf{R}^2\mid x\in\mathbf{R}\}
と書いたりもします．
これまでの2次関数の話とまったく同じようにして，一般の写像についてもそのグラフというものを考えることができます．X,Yを集合として，fをXからYへの写像とします．このときfのグラフとは，集合X\times Yの部分集合
\{(x,y)\in X\times Y\mid y=f(x)\}
のことを言います．この集合は
\{(x,f(x))\in X\times Y\mid x\in X\}
と書いたりします．
fのグラフを\Gamma_fと表すことにしましょう．
次のことは簡単に分かりますが，重要なことです．
X,Yを集合，f\colon X\rightarrow Yを写像とする．このとき(x,y),(x,z)\in \Gamma_fならばy=zである．
証明
(x,y),(x,z)\in \Gamma_fだから，y=f(x)とz=f(x)が成り立っている．よって
y=f(x)=z
である．
写像とグラフの関係
逆にこの補題の条件を満たすような直積集合X\times Yの部分集合を考えてみましょう．もう少し正確に述べると，X\times Yの部分集合\Gammaで次の条件を満たすものを考えます．
各x\in Xに対して，あるy\in Yで(x,y)\in\Gammaを満たすものがただ1つ存在する．
この条件は上の補題で写像のグラフをが満たしている条件と同じです．つまり写像を考える前に，写像のグラフっぽいものを先に考えているのです．
このときx\in Xに対して，この条件によって存在するただ1つ存在するy\in Yを対応させる写像f_\Gammaを考えることができます．つまり
各x\in Xに対して(x,f_\Gamma(x)) \in \Gammaである
ということです．そして，\Gammaが満たしている条件より(x,y)\in \Gammaとなるyはf_\Gamma(x)しかないので，\Gammaがf_\Gammaのグラフであることが分かります．
これらのことから写像とそのグラフは完全に対応していることが分かります．
まとめ
2つの集合があればその直積や，写像を考えることができます．さらに写像は直積の上の部分集合と対応しています．
参考書
集合・位相入門 (松坂和夫 数学入門シリーズ 1)（松坂和夫著）：https://link.amazon/B0fcREc4T
集合と位相 第2版 (8) (大学数学の入門 8)（斎藤毅著）：https://link.amazon/B0fEes5cG
松坂先生の「集合・位相入門」では写像より前に「対応」という写像よりも広い概念のものを定義しています．この対応自体ある種の写像とみることができるので，どこかで述べるかもしれません．斎藤先生の「集合と位相」では写像をグラフを使って定義しています．記事でも述べた通り写像はそのグラフと同一視できるので，集合論的にきっちり定めようとするとグラフから定義することになるのは必然です．
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