よく出てくる写像をいくつか見ておくことにします．
写像の例
定値写像
Xを集合として，a\in Xとします．写像f_a\colon X\rightarrow Xを任意のx\in Xに対してf_a(x)=aで定めます．つまり，Xのすべての元を1つの元aに対応させるような写像です．この写像f_aを定値写像と言います．Xが実数や複素数の集合であれば，定数関数と言ったりもします．一応写像と元を分けるために定値写像をf_aと書きましたが，この写像もaと書いてしまうこともあります．その場合，読み手側はこのaが写像なのか，元なのかをきちんと判断して読む必要があります．たいていの場合文脈から分かるのでちゃんとと読めば分かります．
恒等写像
Xを集合とします．f\colon X\rightarrow Xを，任意のx\in Xに対してx自信を対応させる写像，つまりf(x)=xとします．このfを恒等写像といいます．恒等写像は英語でidentity mapなどと言ったりするので，その頭文字を取って\text{id}で恒等写像を表したりします．他には，基本的な写像という意味を込めてかは分かりませんが，1で恒等写像を表したりもします．しかし，この表記は定値写像1と紛らわしかったりするので，誤解が生まれないように気を付ける必要があります．
射影
X,Yを集合として，その直積X\times Yを考えます．(x,y)\in X\times Yに対してf_X((x,y))=xと定めることにより
f_X\colon Y\times Y\longrightarrow X
が定まります．同様にしてf_Y((x,y))=yと定めることにより
f_Y\colon X\times Y\longrightarrow Y
が定まります．f_XをX成分への射影，f_YをY成分への射影とか言ったりします．射影は英語でprojectionなので，その頭の文字を取って，\text{pr}_XでX成分の射影を表したりします．
特性関数
Xを集合，AをXの部分集合とします．このときx\in Xに対して
f_A(x)=\begin{cases} 1 & (x\in A) \\ 0 & (x\notin A) \end{cases}
と定めると，写像f_A\colon X\rightarrow \{0,1\}が定義されます．この写像f_AをAの特性関数とか指示関数とか言ったりします．Aの特性関数は\chi_Aや1_Aと表されたりします．恒等写像を1_Xと書くこともあるといったのですが，特性関数も同じような記号を使って表す場合があるので，誤解がないように気を付ける必要があります．
包含写像
Xを集合として，AをXの部分集合とします．このときx\in Aに対して，i(x)=x\in Xとすることにより
i\colon A\longrightarrow X
という写像を定義することができます．この写像を包含写像と言います．包含写像は当たり前すぎて，いちいちこんなものを用意する必要があるのか不思議に思うかもしれません．例えば，Xのある構造を部分集合Aに遺伝するときなどによく使われます．あとは，Xの部分集合ではないけど，部分集合として扱いたいような集合があるときに，包含写像に似た性質をもつ写像を持ってくれば，部分集合とみなせることもよくあります．このような場合に包含写像が重要な指針をくれるのです．しかしこれらのことは実際に出くわしたときに，その効用を実感すればよいので，今はあまり気にせずそんなものがあるんだな程度でいいと思います．包含写像にはこれと言って決まった記号はないのですが，多くの場合iやギリシャ文字の\iota（イオタ）が使われます．おそらく包含を意味するinclusionの頭文字からきているのだと思います．
まとめ
この記事ではいくつかの写像の例を見てみました．
参考書
集合・位相入門 (松坂和夫 数学入門シリーズ 1)（松坂和夫著）：https://link.amazon/B01AqYb3S
集合と位相 第2版 (8) (大学数学の入門 8)（斎藤毅著）：https://link.amazon/B07740Vyt
今回上げた写像の例はどちらの本にも大体載っています．ここで挙げた例は一気に覚える必要はなくて，数学をしていればどの分野でも大体出てくるので自然と覚えると思います．
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